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第1章 数论基础1

1.1 素数与带余除法1

1.1.1 素数1

1.1.2 带余除法2

1.2 最大公因子与辗转相除法2

1.3 模运算与同余4

1.3.1 模运算4

1.3.2 同余5

1.3.3 欧拉定理6

1.4 同余方程8

1.5 中国剩余定理9

1.6 数论在密码学中的应用11

1.6.1 密码学的基本概念11

1.6.2 移位密码13

1.6.3 多表代换密码13

1.6.4 多字母代换密码14

1.6.5 同余方程与仿射密码15

1.6.6 中国剩余定理与密钥的分散管理16

本章小结18

本章习题18

第2章 群19

2.1 关系与等价关系19

2.1.1 关系19

2.1.2 等价关系20

2.2 运算与同态21

2.2.1 运算21

2.2.2 同态映射23

2.3 群的定义与性质24

2.3.1 半群与含幺半群24

2.3.2 群25

2.4 子群与群的同态28

2.4.1 子群28

2.4.2 群的同态29

2.5 循环群30

2.6 陪集与正规子群32

2.6.1 陪集32

2.6.2 正规子群33

2.6.3 群同态基本定理36

2.7 群与纠错编码37

2.7.1 线性分组码与汉明重量38

2.7.2 线性码的生成矩阵与校验矩阵41

2.7.3 陪集与译码方法44

本章小结47

本章习题47

第3章 环49

3.1 环的定义及其性质49

3.1.1 环的定义49

3.1.2 环的性质51

3.1.3 整环52

3.1.4 除环53

3.2 子环和环的同态56

3.2.1 子环的概念56

3.2.2 环的同态57

3.3 环的直积、矩阵环、多项式环、序列环58

3.3.1 环的直积与矩阵环58

3.3.2 多项式环与序列环59

3.4 理想与环同态基本定理62

3.4.1 理想63

3.4.2 环同态基本定理64

3.5 环在信息安全中的应用67

3.5.1 拉格朗日插值与密钥的分散管理67

3.5.2 同态加密体制69

本章小结74

本章习题74

第4章 域75

4.1 分式域75

4.2 扩域77

4.3 多项式的分裂域82

4.4 域的特征和有限域的结构88

4.5 有限域上的离散对数与密钥交换协议93

本章小结95

本章习题95

第5章 数理逻辑基础97

5.1 命题逻辑97

5.1.1 命题与联结词97

5.1.2 命题公式及其赋值100

5.2 命题逻辑等值演算与推理103

5.2.1 等值式103

5.2.2 析取范式与合取范式106

5.2.3 联结词的完备集109

5.2.4 命题逻辑的推演系统111

5.3 一阶逻辑113

5.3.1 一阶逻辑的基本概念113

5.3.2 一阶逻辑公式及其解释115

5.3.3 一阶逻辑的等值演算与前束范式117

5.3.4 一阶逻辑的推理理论118

5.4 数理逻辑在信息安全中的应用120

5.4.1 模态逻辑120

5.4.2 数理逻辑在安全协议分析中的初步应用121

本章小结125

本章习题126

第6章 图论基础128

6.1 基本概念128

6.1.1 图的定义128

6.1.2 完全图和正则图130

6.1.3 子图131

6.2 通路与同路132

6.3 图的矩阵表示134

6.4 欧拉图与汉密尔顿图135

6.5 树与生成树139

6.6 图论在信息安全中的应用143

6.6.1 图的同构143

6.6.2 基于同构图的零知识证明系统144

本章小结145

本章习题145