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第一部分 数理逻辑2

第1章 命题逻辑2

本章学习目标2

1.1 命题和命题联结词2

1.1.1 命题2

1.1.2 命题联结词4

1.2 命题公式与解释8

1.2.1 命题公式8

1.2.2 命题公式的解释10

1.3 真值表与等价公式11

1.3.1 真值表11

1.3.2 命题公式的分类13

1.3.3 等价公式15

1.3.4 代入规则和替换规则18

1.4 对偶定理23

1.5 范式25

1.5.1 合取范式和析取范式25

1.5.2 主析取范式和主合取范式27

1.6 公式的蕴涵33

1.6.1 蕴涵的概念33

1.6.2 蕴涵式的证明方法34

1.6.3 基本蕴涵式35

1.7 其他联结词与最小联结词组36

1.7.1 其他联结词36

1.7.2 最小联结词组39

1.8 命题逻辑推理理论40

1.8.1 命题逻辑推理理论40

1.8.2 推理规则42

1.8.3 判断有效结论的常用方法44

本章小结48

习题148

第2章 谓词逻辑52

本章学习目标52

2.1 谓词逻辑命题的符号化52

2.1.1 个体词与谓词53

2.1.2 量词54

2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化55

2.2 谓词逻辑公式与解释57

2.2.1 谓词逻辑的合式公式57

2.2.2 谓词的约束和替换59

2.2.3 谓词逻辑公式的解释61

2.3 谓词逻辑公式的等价与蕴涵63

2.3.1 谓词逻辑的等价公式63

2.3.2 谓词逻辑的蕴涵公式67

2.3.3 多个量词的使用68

2.4 前束范式69

2.5 谓词逻辑的推理理论71

本章小结76

习题276

第二部分 集合论81

第3章 集合81

本章学习目标81

3.1 集合的概念与表示81

3.1.1 集合的基本概念81

3.1.2 集合的表示82

3.1.3 集合之间的关系83

3.2 集合的运算86

3.2.1 集合的交运算86

3.2.2 集合的并运算87

3.2.3 集合的补88

3.2.4 集合的对称差90

3.3 包含排斥原理91

本章小结94

习题394

第4章 关系98

本章学习目标98

4.1 序偶与笛卡尔积98

4.1.1 有序n元组98

4.1.2 笛卡尔积的概念99

4.1.3 笛卡尔积的性质100

4.2 二元关系及其表示102

4.2.1 二元关系的概念102

4.2.2 二元关系的表示103

4.3 关系的运算105

4.3.1 关系的交、并、差、补运算105

4.3.2 关系的复合运算106

4.3.3 关系的逆运算110

4.4 关系的性质112

4.4.1 自反性和反自反性112

4.4.2 对称性和反对称性112

4.4.3 传递性113

4.4.4 关系性质的判定113

4.5 关系的闭包120

4.6 等价关系与集合的划分125

4.6.1 等价关系125

4.6.2 等价类126

4.6.3 集合的划分127

4.7 相容关系130

4.7.1 相容关系130

4.7.2 覆盖132

4.8 偏序关系134

4.8.1 偏序关系134

4.8.2 哈斯图135

4.8.3 全序关系137

4.8.4 良序关系139

本章小结140

习题4140

第5章 函数144

本章学习目标144

5.1 函数的概念144

5.2 函数的性质146

5.3 复合函数和逆函数149

5.3.1 复合函数149

5.3.2 逆函数151

5.4 置换152

本章小结154

习题5154

第6章 集合的基数156

本章学习目标156

6.1 基数的概念156

6.2 可数集和不可数集158

6.2.1 可数集158

6.2.2 不可数集160

6.3 基数的比较161

本章小结163

习题6164

第三部分 图论166

第7章 图166

本章学习目标166

7.1 图的基本概念166

7.1.1 图论的发展166

7.1.2 图的基本概念167

7.2 通路与回路175

7.3 图的连通性176

7.3.1 无向图的连通性176

7.3.2 有向图的连通性179

7.4 图的矩阵表示183

7.4.1 图的邻接矩阵183

7.4.2 图的关联矩阵185

7.4.3 有向图的可达矩阵188

7.5 图的应用190

7.5.1 带权图的最短通路190

7.5.2 带权图的关键路径193

本章小结196

习题7196

第8章 欧拉图与哈密尔顿图200

本章学习目标200

8.1 欧拉图200

8.1.1 欧拉图的定义200

8.1.2 欧拉图的判定201

8.1.3 求欧拉回路的算法203

8.1.4 欧拉图的应用204

8.2 哈密尔顿图205

8.2.1 哈密尔顿图205

8.2.2 哈密尔顿图的判定206

本章小结207

习题8208

第9章 特殊图210

本章学习目标210

9.1 树210

9.1.1 无向树210

9.1.2 生成树与最小生成树213

9.1.3 有向树与根树214

9.1.4 最优二叉树及其应用219

9.2 二部图222

9.3 平面图225

9.3.1 平面图的定义225

9.3.2 欧拉公式226

9.3.3 库拉托夫斯基定理229

9.3.4 平面图的对偶图230

本章小结232

习题9232

第四部分 代数系统236

第10章 代数结构236

本章学习目标236

10.1 二元运算及其性质236

10.1.1 二元运算236

10.1.2 二元运算的性质238

10.2 代数系统242

10.3 群的定义243

10.3.1 半群243

10.3.2 群245

10.3.3 群的性质247

10.4 子群248

10.4.1 子群248

10.4.2 子群的判定249

10.5 阿贝尔群和循环群251

10.5.1 阿贝尔群251

10.5.2 循环群252

10.6 置换群与伯恩赛德定理254

10.6.1 置换群254

10.6.2 伯恩赛德定理（Burnside）257

10.7 陪集与拉格朗日定理260

10.7.1 陪集260

10.7.2 正规子群和商群261

10.7.3 拉格朗日定理263

10.8 群的同态与同构264

本章小结267

习题10267

第11章 格与布尔代数271

本章学习目标271

11.1 格的定义和性质271

11.1.1 格的定义271

11.1.2 格的对偶原理272

11.1.3 格的性质273

11.1.4 子格和格的同态276

11.2 分配格和有补格278

11.2.1 模格278

11.2.2 分配格279

11.2.3 有界格281

11.2.4 有补格281

11.3 布尔代数282

11.3.1 布尔代数的定义及性质282

11.3.2 布尔代数的同构与同态284

11.3.3 布尔代数的表示理论287

本章小结289

习题11289

习题参考答案292

参考文献355