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第一篇 高等数学3

第一章 函数 极限 连续3

考点与要求3

1 函数3

内容精讲3

一、定义3

二、重要性质、定理、公式5

例题分析6

一、求分段函数的复合函数6

二、关于函数有界（无界）的讨论7

2 极限8

内容精讲8

一、定义8

二、重要性质、定理、公式9

三、计算极限的一些有关方法10

例题分析12

一、求函数的极限13

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限18

三、含有｜x｜，e 1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限21

四、无穷小的比较21

五、数列的极限22

六、极限运算定理的正确运用26

3 函数的连续与间断28

内容精讲28

一、定义28

二、重要性质、定理、公式29

例题分析29

一、讨论函数的连续与间断29

二、在连续条件下求参数30

三、连续函数的零点问题31

第二章 一元函数微分学33

考点与要求33

1 导数与微分，导数的计算33

内容精讲33

一、定义33

二、重要性质、定理、公式34

例题分析37

一、按定义求一点处的导数37

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数39

三、绝对值函数的导数43

四、由极限式表示的函数的可导性45

五、导数与微分、增量的关系45

六、求导数的计算题46

2 导数的应用49

内容精讲49

一、定义49

二、重要性质、定理、公式与方法50

例题分析51

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论51

二、渐近线56

三、曲率与曲率圆57

四、最大值、最小值问题57

五、函数的值域，反函数及其定义域59

3 中值定理、不等式与零点问题61

内容精讲61

一、重要定理61

二、重要方法63

例题分析64

一、不等式的证明64

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题69

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点71

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点72

五、“双中值”问题73

六、零点的个数问题73

七、证明存在某ξ满足某不等式75

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系76

第三章 一元函数积分学78

考点与要求78

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论78

内容精讲78

一、定义78

二、重要性质、定理、公式79

例题分析80

一、分段函数的不定积分与定积分80

二、定积分与原函数的存在性82

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分83

2 不定积分与定积分的计算86

内容精讲86

一、基本积分公式86

二、基本积分方法87

例题分析89

一、简单有理分式的积分89

二、三角函数的有理分式的积分90

三、简单无理式的积分90

四、两种不同类型的函数相乘的积分92

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分93

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分95

七、含参变量带绝对值号的定积分96

八、积分计算杂例97

3 反常积分及其计算99

内容精讲99

一、定义99

二、重要性质、定理、公式100

例题分析101

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性101

二、关于奇、偶函数的反常积分103

4 定积分的应用104

内容精讲104

一、基本方法104

二、重要几何公式与物理应用105

例题分析106

一、几何应用106

二、物理应用109

5 定积分的证明题113

内容精讲113

例题分析113

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等113

二、由积分定义的函数求极限115

三、积分不等式的证明116

四、零点问题123

第四章 向量代数与空间解析几何126

考点与要求126

1 向量代数126

内容精讲126

一、与向量有关的基本概念126

二、向量的运算及性质127

例题分析128

一、向量的运算128

二、向量运算的应用及向量的位置关系130

2 平面与直线131

内容精讲131

一、平面方程131

二、直线方程131

三、平面与直线间的位置关系132

例题分析133

一、建立平面方程133

二、建立直线方程134

三、与平面和直线的位置关系有关的问题136

3 空间曲面与曲线139

内容精讲139

一、旋转面及其方程139

二、柱面及其方程139

三、常见的二次曲面及图形140

四、空间曲线及其方程141

五、空间曲线的投影141

例题分析141

一、建立柱面方程141

二、建立旋转面方程142

三、建立空间曲线的投影曲线方程144

第五章 多元函数微分学145

考点与要求145

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念）145

内容精讲145

一、多元函数145

二、二元函数的极限与连续145

三、二元函数的偏导数与全微分146

例题分析148

一、讨论二重极限148

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性150

三、讨论二元函数的可微性151

2 多元函数的微分法155

内容精讲155

一、复合函数的偏导数与全微分155

二、隐函数的偏导数与全微分156

例题分析157

一、求复合函数的偏导数与全微分157

二、求隐函数的偏导数与全微分166

3 极值与最值171

内容精讲171

一、无条件极值171

二、条件极值172

例题分析172

一、无条件极值问题172

二、条件极值（最值）问题175

三、多元函数的最大（小）值问题176

4 方向导数与梯度多元微分在几何上的应用泰勒定理180

内容精讲180

一、方向导数180

二、梯度181

三、曲面的切平面与法线182

四、曲线的切线和法平面182

五、泰勒定理183

例题分析183

一、有关方向导数与梯度183

二、有关曲面的切平面和曲线的切线186

三、泰勒定理188

第六章 多元函数积分学189

考点与要求189

1 重积分189

内容精讲189

一、二重积分189

二、三重积分192

例题分析194

一、计算二重积分194

二、累次积分交换次序及计算203

三、与二重积分有关的综合题205

四、与二重积分有关的积分不等式问题208

五、计算三重积分210

六、三重积分的累次积分214

2 曲线积分215

内容精讲215

一、对弧长的线积分（第一类线积分）215

二、对坐标的线积分（第二类线积分）216

例题分析218

一、对弧长的线积分（第一类线积分）218

二、对坐标的线积分（第二类线积分）220

3 曲面积分229

内容精讲229

一、对面积的面积分（第一类面积分）229

二、对坐标的面积分（第二类面积分）230

例题分析231

一、对面积的面积分（第一类面积分）231

二、对坐标的面积分（第二类面积分）234

4 场论初步239

内容精讲239

一、梯度239

二、通量239

三、散度239

四、旋度240

例题分析240

一、梯度、旋度、散度的计算240

5 多元积分的应用241

内容精讲241

例题分析242

一、几何应用242

二、求物理量243

第七章 无穷级数247

考点与要求247

1 常数项级数247

内容精讲247

一、级数的概念与性质247

二、级数的判敛准则248

例题分析249

一、正项级数敛散性的判定249

二、交错级数敛散性的判定253

三、任意项级数敛散性判定254

四、有关常数项级数的证明题与综合题259

2 幂级数264

内容精讲264

一、函数项级数及收敛域与和函数264

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域265

三、幂级数的性质265

四、函数的幂级数展开266

例题分析267

一、求幂级数的收敛域267

二、将函数展开为幂级数270

三、级数求和273

3 傅里叶级数278

内容精讲278

一、三角函数及其正交性278

二、傅里叶级数278

三、收敛性定理278

四、周期为2π的函数的傅里叶展开278

五、周期为2l的函数的傅里叶展开279

例题分析280

一、有关收敛定理的问题280

二、将函数展开为傅里叶级数281

第八章 微分方程283

考点与要求283

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法283

内容精讲283

一、定义283

二、几种特殊类型的一阶微分方程与某些可降阶的二阶方程的解法284

例题分析286

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题）286

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题287

三、积分方程化为微分方程求解288

四、偏微分方程化为常微分方程求解291

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解292

六、与微分方程的解的一些有关问题的讨论292

2 二阶及高阶线性微分方程295

内容精讲295

一、定义295

二、重要性质、定理、公式296

例题分析298

一、识别类型，对号入座，按类型求解298

二、用变量代换解微分方程300

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解301

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式302

五、已知方程的解求方程302

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系304

七、欧拉方程求解304

八、积分方程、偏微分方程化成常微分方程求解（续）305

3 微分方程的应用307

内容精讲307

一、几何问题307

二、变化率问题308

三、牛顿第二定律或运动等问题309

四、微元法建立微分方程309

第二篇 线性代数313

第一章 行列式313

考点与要求313

内容精讲313

例题分析316

一、数字型行列式的计算316

二、抽象型行列式的计算323

三、行列式｜A｜是否为零的判定325

四、关于代数余子式求和326

第二章 矩阵328

考点与要求328

内容精讲328

1 矩阵的概念及运算328

一、矩阵的概念328

二、矩阵的运算329

三、矩阵的运算规则329

四、特殊矩阵330

2 可逆矩阵331

一、可逆矩阵的概念331

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件331

三、逆矩阵的运算性质331

四、求逆矩阵的方法331

3 初等变换、初等矩阵332

一、定义332

二、初等矩阵与初等变换的性质332

4 矩阵的秩333

一、矩阵秩的概念333

二、矩阵秩的公式333

5 分块矩阵334

一、分块矩阵的概念334

二、分块矩阵的运算334

例题分析335

一、矩阵的概念及运算335

二、特殊方阵的幂338

三、伴随矩阵的相关问题341

四、可逆矩阵的相关问题343

五、初等变换、初等矩阵346

六、矩阵秩的计算348

第三章 向量352

考点与要求352

内容精讲352

1 n维向量的概念与运算352

2 线性表出、线性相关353

3 极大线性无关组、秩354

4 Schmidt正交化、正交矩阵355

5 向量空间355

例题分析357

一、线性相关的判别357

二、向量的线性表示358

三、线性相关与线性无关的证明360

四、秩与极大线性无关组363

五、正交化、正交矩阵365

六、向量空间366

第四章 线性方程组370

考点与要求370

内容精讲370

1 克拉默法则370

2 齐次线性方程组371

3 非齐次线性方程组372

例题分析374

一、线性方程组的基本概念题374

二、线性方程组的求解377

三、基础解系383

四、Ax=0的系数行向量和解向量的关系，由Ax=0的基础解系反求A385

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系387

六、两个方程组的公共解389

七、同解方程组390

八、线性方程组的有关杂题392

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵395

考点与要求395

内容精讲395

1 特征值、特征向量395

一、特征值，特征向量395

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵395

三、特征值的性质395

四、求特征值、特征向量的方法396

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化396

一、相似矩阵396

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件396

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件397

3 实对称矩阵的相似对角化397

一、实对称阵397

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化397

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤397

例题分析398

一、特征值，特征向量的求法398

二、两个矩阵有相同的特征值的证明402

三、关于特征向量403

四、矩阵是否相似于对角阵的判别403

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数406

六、由特征值、特征向量反求A407

七、矩阵相似及相似标准形408

八、相似对角阵的应用413

第六章 二次型417

考点与要求417

内容精讲417

1 二次型的概念、矩阵表示417

一、二次型概念417

二、二次型的矩阵表示417

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型418

一、二次型的标准形，规范形418

二、化二次型为标准形，规范形418

三、合同矩阵，合同二次型419

3 正定二次型、正定矩阵420

例题分析420

一、二次型的矩阵表示420

二、化二次型为标准形421

三、合同矩阵、合同二次型426

四、正定性的判别428

五、正定二次型的证明431

六、综合杂题432

第三篇 概率论与数理统计437

第一章 随机事件和概率437

考点与要求437

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算437

内容精讲437

例题分析439

2 概率、条件概率、独立性和五大公式441

内容精讲441

例题分析442

3 古典概型与伯努利概型447

内容精讲447

例题分析447

第二章 随机变量及其概率分布450

考点与要求450

1 随机变量及其分布函数450

内容精讲450

例题分析451

2 离散型随机变量和连续型随机变量452

内容精讲452

例题分析453

3 常用分布454

内容精讲454

例题分析457

4 随机变量函数的分布460

内容精讲460

例题分析461

第三章 多维随机变量及其分布463

考点与要求463

1 二维随机变量及其分布463

内容精讲463

例题分析465

2 随机变量的独立性470

内容精讲470

例题分析471

3 二维均匀分布和二维正态分布477

内容精讲477

例题分析478

4 两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布481

内容精讲481

例题分析482

第四章 随机变量的数字特征487

考点与要求487

1 随机变量的数学期望和方差487

内容精讲487

例题分析489

2 矩、协方差和相关系数496

内容精讲496

例题分析497

第五章 大数定律和中心极限定理504

考点与要求504

内容精讲504

例题分析505

第六章 数理统计的基本概念507

考点与要求507

1 总体、样本、统计量和样本数字特征507

内容精讲507

例题分析508

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布510

内容精讲510

例题分析512

第七章 参数估计516

考点与要求516

1 点估计516

内容精讲516

例题分析516

2 估计量的求法和区间估计521

内容精讲521

例题分析523

第八章 假设检验528

考点与要求528

内容精讲528

例题分析529