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第一章 预备知识1

第一节 微分方程的相关概念与分类1

一、微分方程的相关概念1

二、微分方程的分类2

第二节 数值分析的工具3

本章要求及小结6

习题一6

第二章 常微分方程的数值解法7

第一节 欧拉（Euler）方法8

一、欧拉方法8

二、梯形方法9

三、改进的欧拉方法11

第二节 误差分析的相关概念12

一、局部截断误差与相容性12

二、稳定性13

三、收敛性14

四、收敛阶的数值意义15

第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法15

一、泰勒级数方法16

二、龙格-库塔方法17

第四节 线性多步法20

一、线性多步法21

二、阿当姆斯方法24

三、预估—校正方法26

第五节 一阶方程组及高阶方程初值问题的解法27

一、一阶方程组初值问题的解法27

二、高阶方程初值问题的解法29

第六节 两点边值问题的解法30

一、打靶法求解两点狄利克雷边值问题30

二、打靶法求解两点混合边值问题32

三、差分法求解两点狄利克莱边值问题33

四、差分法求解两点混合边值问题36

第七节 高精度算法39

一、理查德森（Richardson）外推法39

二、紧差分方法42

本章参考文献43

本章要求及小结43

习题二44

第三章 抛物型偏微分方程的有限差分法46

第一节 向前欧拉方法46

一、向前欧拉格式46

二、向前欧拉格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析48

三、数值算例52

第二节 向后欧拉方法55

一、向后欧拉格式55

二、向后欧拉格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析57

三、数值算例57

第三节 Crank-Nicolson方法60

一、理查德森差分格式61

二、Crank-Nicolson差分格式65

三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析67

四、数值算例68

第四节 高精度算法69

一、理查德森外推法70

二、紧差分方法76

第五节 混合边界条件下的差分方法80

一、几种差分格式的建立81

二、差分格式稳定性的讨论84

三、数值算例87

第六节 二维抛物型方程的交替方向隐格式89

一、向前欧拉格式90

二、Crank-Nicolson格式91

三、交替方向隐（ADI）格式94

四、关于添加辅助项的说明97

五、数值算例100

第七节 二维抛物型方程的紧交替方向隐式方法101

一、二维紧差分格式101

二、紧交替方向隐格式103

三、紧ADI格式的收敛性分析105

四、数值算例105

本章参考文献106

本章要求及小结107

习题三107

第四章 双曲型偏微分方程的有限差分法110

第一节 一阶双曲型方程的若干差分方法110

一、精确解所具有的波的传播性质及对初值的局部依赖性110

二、迎风格式111

三、一个完全不稳定的差分格式113

四、蛙跳（Leapfrog）格式113

五、Lax-Friedrichs格式115

六、Lax-Wendroff格式116

七、Beam-Warming格式116

八、隐格式的设计117

九、Courant-Friedrichs-Lewy条件118

十、数值算例119

十一、推广120

第二节 二阶双曲型方程的显式差分法122

一、三层显差分格式的建立122

二、显格式的稳定性、收敛性分析123

三、改进的三层显格式126

四、数值算例127

第三节 二阶双曲型方程的隐式差分法128

一、隐差分格式的建立128

二、隐格式的稳定性、收敛性分析130

三、数值算例131

第四节 二阶双曲型方程的紧差分方法131

一、紧差分格式的建立131

二、紧差分格式的稳定性、收敛性分析133

三、数值算例135

第五节 二维双曲型方程的交替方向隐格式135

一、显差分格式135

二、交替方向隐格式137

三、交替方向隐格式的稳定性、收敛性分析140

四、二维抛物型方程交替方向隐格式的稳定性142

五、数值算例142

第六节 二维双曲型方程的紧交替方向隐式方法143

一、二维紧差分格式143

二、紧交替方向隐格式145

三、紧交替方向隐格式的稳定性、收敛性分析146

四、二维抛物型方程紧交替方向隐格式的稳定性148

五、数值算例148

本章参考文献149

本章要求及小结150

习题四150

第五章 椭圆型偏微分方程的有限差分法155

第一节 五点菱形差分方法155

一、五点菱形格式155

二、五点菱形格式的收敛性分析159

三、数值算例162

第二节 九点紧差分方法162

一、九点紧差分格式163

二、九点紧差分格式的收敛性分析165

三、数值算例170

第三节 混合边界条件下的差分方法170

一、二阶差分格式171

二、差分格式的收敛性分析176

三、数值算例176

本章参考文献177

本章要求及小结177

习题五177

第六章 有限元法简介182

第一节 一个引例182

一、常微分方程两点边值问题的等价形式182

二、模型问题的有限元法184

三、有限元法的编程185

四、有限元法的收敛性分析188

五、数值算例189

第二节 变分原理与弱解190

一、原问题的等价变分形式191

二、Lax-Milgram定理192

第三节 有限元空间的构造194

一、对区域Ω的剖分194

二、三角形一次元194

三、一次元的基函数与面积坐标195

四、三角形二次元及其基函数196

第四节 有限元法的实现198

一、单元刚度矩阵及单元荷载198

二、总刚度矩阵和总荷载的合成199

三、边界条件的处理200

四、数值算例200

第五节 抛物型方程初边值问题的有限元方法201

一、原方程的变分形式201

二、用有限元法进行空间半离散202

三、用差分法进行时间全离散203

四、相关量的数值计算203

五、编程时的一些说明204

六、数值算例204

本章参考文献205

本章要求及小结205

习题六205

附录A 二阶线性偏微分方程的变换与分类207

附录B 四阶龙格-库塔方法的推导212

附录C 解线性方程组的迭代法217