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第一章 空间解析几何基础1

第一节 空间直角坐标系与空间曲面1

一、空间直角坐标系1

二、空间两点之间的距离2

三、曲面方程的一般概念3

四、常见的空间曲面4

习题1-18

第二节 空间曲线及其在坐标面上的投影8

一、平面曲线的极坐标方程和参数方程9

二、空间曲线的一般方程与参数方程10

三、空间曲线在坐标面上的投影11

习题1-212

第三节 空间中的向量代数13

一、向量的线性运算13

二、空间向量的方向角、方向余弦及其在数轴上的投影15

三、数量积、向量积、混合积17

习题1-321

第四节 空间中平面与直线的方程22

一、平面的点法式方程22

二、平面的一般方程23

三、空间直线的一般方程与对称式方程24

四、空间直线、平面间的位置关系27

习题1-429

第一章 总习题30

第二章 函数、极限与连续性32

第一节 区间和平面区域32

一、数轴上的区间与邻域32

二、平面上的邻域和区域33

习题2-135

第二节 一元函数与多元函数35

一、一元函数的概念35

二、某些一元函数具有的特性37

三、一元函数的反函数38

四、一元初等函数39

五、一元分段函数与幂指函数43

六、多元函数的概念44

习题2-245

第三节 简单的经济函数46

一、单利、复利与多次付息46

二、贴现47

三、需求函数与供给函数48

四、成本函数、收益函数和利润函数49

习题2-351

第四节 一元函数的极限51

一、数列的极限51

二、一元函数的极限54

习题2-456

第五节 无穷小量与无穷大量57

一、无穷小量及其运算性质57

二、无穷大量58

三、无穷小量与无穷大量的关系58

习题2-559

第六节 极限运算59

一、极限的运算法则59

二、极限存在准则 两个重要极限62

三、无穷小量的比较65

习题2-666

第七节 一元函数的连续性67

一、连续函数的概念67

二、连续函数的基本性质及初等函数的连续性68

三、闭区间上连续函数的性质69

四、函数的间断点及其分类70

习题2-772

第八节 二元函数的极限与连续性72

一、二元函数的极限72

二、二元函数的连续性73

习题2-873

第二章 总习题74

第三章 微分学基础77

第一节 导数的概念77

一、微分学产生的背景77

二、一元函数的导数78

三、一元函数可导与连续的关系79

四、导数的几何意义、物理意义与经济意义80

习题3-181

第二节 一元函数的求导方法81

一、用定义求导数81

二、导数的四则运算法则83

三、反函数的导数84

四、一元复合函数的导数85

五、一元初等函数求导方法小结87

六、幂指函数求导与取对数求导法87

七、高阶导数89

八、由参数方程所确定的一元函数的导数90

习题3-291

第三节 偏导数及其计算92

一、偏导数的概念92

二、求偏导数的基本方法94

三、高阶偏导数95

四、多元复合函数的求导法则96

习题3-398

第四节 隐函数的（偏）导数99

一、隐函数的概念99

二、隐函数的求（偏）导数公式99

三、用复合函数求（偏）导法则求隐函数的（偏）导数101

习题3-4103

第五节 微分与全微分104

一、一元函数微分的概念及几何意义104

二、一元函数的微分公式与运算法则106

三、多元函数的全微分107

四、微分与全微分在近似计算中的应用109

习题3-5110

第三章 总习题111

第四章 微分学的应用113

第一节 中值定理113

一、罗尔定理113

二、拉格朗日中值定理114

三、柯西中值定理115

习题4-1116

第二节 洛必达法则117

一、0/0型及∞／∞型未定式极限求法117

二、0·∞，∞-∞，1∞，∞0，00型未定式的解法119

习题4-2121

第三节 一元函数的单调性与凹凸性121

一、单调性的判别法122

二、单调区间求法122

三、曲线凹凸性的概念123

四、曲线凹凸性的判定124

五、曲线的拐点及其求法125

习题4-3126

第四节 一元函数的极值与最值126

一、一元函数极值与最值的概念126

二、一元函数极值的求法126

三、一元函数最值的求法129

习题4-4130

第五节 一元函数图形的描绘130

一、渐近线130

二、一元函数作图131

习题4-5132

第六节 曲率132

一、弧微分132

二、曲率与曲率圆133

习题4-6135

第七节 微分学在几何中的应用136

一、空间曲线的切线与法平面136

二、空间曲面的切平面与法线136

习题4-7138

第八节 多元函数的极值与最值138

一、二元函数极值138

二、二元函数的最大值与最小值140

三、条件极值与拉格朗日乘数法141

习题4-8142

第九节 微分学在经济中的简单应用142

一、边际分析142

二、弹性分析146

三、经济最值问题149

习题4-9150

第十节 方向导数与梯度150

一、方向导数150

二、梯度151

习题4-10152

第四章 总习题153

第五章 定积分及其应用154

第一节 定积分的概念与性质154

一、定积分的基本思想与问题起源154

二、定积分的概念156

三、定积分的几何意义157

四、定积分的性质157

习题5-1160

第二节 微积分基本定理161

一、积分上下限函数及其导数、原函数161

二、牛顿-莱布尼茨公式164

习题5-2165

第三节 不定积分的概念和性质166

一、不定积分的概念166

二、基本积分表167

三、不定积分的性质168

习题5-3169

第四节 不定积分的积分方法170

一、不定积分的换元积分法170

二、不定积分的分部积分法176

三、几类特殊函数的积分法179

习题5-4181

第五节 定积分的积分方法182

一、定积分的换元积分法182

二、定积分的分部积分法185

习题5-5187

第六节 反常积分188

一、无穷区间的反常积分188

二、无界函数的反常积分190

习题5-6191

第七节 定积分的应用192

一、平面图形的面积192

二、特殊的空间立体的体积195

三、物理应用197

四、经济学中的应用198

习题5-7199

第五章 总习题200

第六章 重积分202

第一节 二重积分的概念与性质202

一、二重积分的概念202

二、二重积分的性质205

习题6-1206

第二节 二重积分的计算206

一、X型区域与Y型区域207

二、直角坐标系下二重积分的计算207

三、极坐标系下二重积分的计算213

习题6-2218

第三节 三重积分及其在直角坐标系下的计算220

一、三重积分的概念220

二、空间直角坐标系下三重积分的计算方法221

习题6-3225

第四节 利用柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分225

一、柱面坐标系下三重积分的计算方法225

二、球面坐标系下三重积分的计算方法227

习题6-4229

第五节 重积分的应用229

一、空间立体的体积229

二、重积分的物理应用230

习题6-5233

第六章 总习题233

第七章 曲线积分与曲面积分235

第一节 对弧长的曲线积分235

一、对弧长的曲线积分的概念与性质235

二、对弧长的曲线积分的计算方法236

习题7-1238

第二节 对坐标的曲线积分239

一、对坐标的曲线积分的概念与性质239

二、对坐标的曲线积分的计算方法240

习题7-2243

第三节 格林公式及其应用243

一、格林公式243

二、平面曲线积分与路径无关的条件246

三、二元函数的全微分求积247

习题7-3248

第四节 曲面积分249

一、对面积的曲面积分249

二、对坐标的曲面积分的概念与性质252

三、对坐标的曲面积分的计算方法254

习题7-4256

第五节 高斯公式和斯托克斯公式257

一、高斯公式257

二、斯托克斯公式258

习题7-5259

第六节 场论初步259

一、数量场与向量场259

二、向量场的散度和通量260

三、向量场的环流量与旋度261

习题7-6262

第七章 总习题262

第八章 无穷级数264

第一节 常数项级数的概念与性质264

一、常数项级数的概念264

二、收敛级数的基本性质266

习题8-1268

第二节 常数项级数的审敛法269

一、正项级数及其审敛法269

二、任意项级数、绝对收敛、条件收敛273

习题8-2275

第三节 函数项级数与幂级数276

一、函数项级数276

二、幂级数及其收敛域277

三、幂级数的运算281

习题8-3282

第四节 函数展开成幂函数283

一、泰勒级数283

二、函数展开成幂级数284

习题8-4287

第五节 幂级数的应用287

一、函数值的近似计算287

二、在积分计算中的应用289

三、求极限289

四、证明欧拉公式289

习题8-5290

第六节 傅里叶级数290

一、三角函数系的正交性290

二、周期为2π的函数展开为傅里叶级数292

三、周期为2l的函数的傅里叶级数295

习题8-6296

第八章 总习题297

第九章 微分方程与差分方程300

第一节 微分方程的基本概念300

一、引言300

二、基本概念301

习题9-1303

第二节 微分方程的初等积分法303

一、可分离变量的微分方程303

二、齐次方程305

三、一阶线性微分方程306

四、全微分方程308

五、可降阶的高阶微分方程309

习题9-2311

第三节 二阶线性微分方程313

一、高阶线性微分方程的概念313

二、二阶线性微分方程通解的结构313

三、二阶常系数齐次线性微分方程315

四、二阶常系数非齐次线性微分方程316

习题9-3318

第四节 差分方程的基本概念319

一、差分与差分方程319

二、常系数线性差分方程解的结构320

习题9-4321

第五节 常系数线性差分方程321

一、一阶常系数齐次线性差分方程321

二、一阶常系数非齐次线性差分方程321

三、二阶常系数齐次线性差分方程322

四、二阶常系数非齐次线性差分方程323

习题9-5325

第六节 数学建模与微分方程应用简介325

一、数学模型简介325

二、微分方程的应用模型327

三、差分方程的应用模型330

第九章 总习题331

部分习题答案与提示333

附录一 预备知识351

附录二 常见平面曲线356

附录三 常见空间曲面359

主要参考文献362