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第1章 狭义相对论回顾1

1.1 伽利略相对论与惯性参考系1

1.2 麦克斯韦电磁理论与Lorentz变换2

1.3 狭义相对论的基本假定5

1.4 狭义相对论的数学工具：矢量和张量6

1.4.1 张量的变换规则6

1.4.2 张量的代数和微分运算8

1.4.3 切矢量与方向导数9

1.5 狭义相对论时空因果结构及狭义相对性10

1.5.1 速度的合成10

1.5.2 时空因果结构与同时性的相对性11

1.5.3 时间膨胀与空间压缩14

1.6 狭义相对论质点力学与场论15

1.6.1 质点力学15

1.6.2 麦克斯韦方程组的协变形式18

1.6.3 标量场20

1.7 相对论流体20

1.8 Lorentz群和Poincaré群的李代数的表示23

1.8.1 Lorentz群的李代数及其表示23

1.8.2 Poincaré群的李代数及其表示29

1.8.3 旋量场30

1.8.4 旋量二次型与不可约张量37

第2章 等效原理与黎曼几何初步39

2.1 等效原理39

2.2 时空的几何——赝黎曼流形41

2.3 张量分析45

2.3.1 张量的定义45

2.3.2 局域因果结构48

2.3.3 张量代数49

2.3.4 协变导数50

2.3.5 矢量场的对易括号52

2.4 仿射联络与Christoffel符号53

2.4.1 仿射联络的变换性质和不唯一性53

2.4.2 Christoffel符号55

2.4.3 协变散度56

2.5 矢量平移与测地线58

2.5.1 矢量平移58

2.5.2 测地线59

2.6 曲率张量62

2.6.1 黎曼曲率张量62

2.6.2 黎曼张量的几何解释——测地偏移方程63

2.6.3 黎曼张量的指标对称性64

2.6.4 Bianchi恒等式65

2.6.5 曲率张量的降秩缩并65

2.7 李导数与Killing矢量场67

2.7.1 李导数67

2.7.2 Killing矢量场70

2.8 Weyl变换与共形变换72

2.8.1 Weyl变换72

2.8.2 共形变换74

2.9 超曲面75

2.10 微分形式与Stokes定理79

2.10.1 微分形式与外微分79

2.10.2 体积形式与流形上的积分80

2.10.3 Hodge对偶82

2.10.4 Stokes定理83

2.11 几个简单的（赝）黎曼流形85

2.11.1 2维球面85

2.11.2 Rindler时空87

2.11.3 Robertson-Walker度规89

2.12 翘曲流形91

第3章 弯曲时空中的场方程94

3.1 赝黎曼时空中的质点力学94

3.1.1 质点运动方程94

3.1.2 牛顿极限95

3.2 电磁场与自由标量场方程96

3.2.1 电磁场方程96

3.2.2 标量场方程99

3.3 赝黎曼流形中的流体99

3.4 引力场方程100

3.4.1 牛顿引力场方程100

3.4.2 相对论引力场方程102

3.5 引力变分原理103

3.5.1 作用量变分与爱因斯坦方程103

3.5.2 Gibbons-Hawking-York边界项105

3.6 最大对称真空解与宇宙常数107

3.7 弱场极限与线性扰动112

3.7.1 弱场极限与场方程的线性化112

3.7.2 牛顿近似与泊松方程114

3.7.3 引力场的磁效应115

3.7.4 真空中的弱引力波116

3.7.5 有源弱引力波118

3.8 非弱场性质初探123

3.8.1 引力场的独立分量个数123

3.8.2 非微扰的波动解——平面平行波124

第4章 球对称的引力场128

4.1 Schwarzschild真空解128

4.2 Birkhoff定理130

4.3 Schwarzschild内部解132

4.4 Schwarzschild时空中的物理学137

4.4.1 Schwarzschild时空中的长度和时间137

4.4.2 雷达波的延迟138

4.4.3 引力红移与谱移动140

4.4.4 质点的测地运动141

4.4.5 近日进动145

4.4.6 光线弯曲148

第5章 黑洞理论154

5.1 Schwarzschild黑洞154

5.1.1 视界与光锥154

5.1.2 黑洞的形成机制和数量估计158

5.1.3 非奇异坐标系159

5.1.4 近视界极限165

5.1.5 裸奇点166

5.1.6 Carter-Penrose图166

5.2 Reissner-Nordstr？m黑洞171

5.2.1 非极端RN黑洞174

5.2.2 极端RN黑洞177

5.3 稳态轴对称黑洞解178

5.3.1 唯一性定理178

5.3.2 Kerr及Kerr-Newman黑洞——度规、视界与渐近行为179

5.3.3 能球与能层185

5.3.4 Kerr时空中的质点力学与几何光学187

5.4 Killing视界与表面引力190

5.5 时空的渐近平坦性194

5.6 渐近平坦黑洞时空的可观测量196

5.6.1 质量196

5.6.2 角动量197

5.6.3 电荷198

5.6.4 小结199

5.7 黑洞面积定律与黑洞热力学199

5.8 Hawking辐射202

5.8.1 Hawking辐射的半经典理论203

5.8.2 黑洞辐射的隧穿理论210

第6章 标架形式与旋量场215

6.1 标架场216

6.2 导数与微分运算218

6.3 挠率与曲率形式219

6.4 爱因斯坦-希尔伯特作用量221

6.5 标量与矢量物质场222

6.6 旋量场223

6.7 小结225

第7章 高维及带宇宙学常数的时空227

7.1 不含宇宙学常数的高维黑洞解227

7.1.1 高维球对称黑洞227

7.1.2 黑弦、黑膜及其不稳定性231

7.1.3 高维轴对称黑洞232

7.1.4 5维时空中的新型黑洞——黑环解235

7.2 高维黑洞解的构造方法238

7.2.1 Kerr-Schild形式239

7.2.2 Belinski-Zakharov构造241

7.2.3 推广的Weyl解法242

7.3 含非零宇宙学常数的黑洞时空244

7.3.1 Tangherlini-（A）dS黑洞244

7.3.2 Tangherlini-RN-（A）dS黑洞248

7.3.3 Kerr-（A）dS黑洞250

7.4 扩展相空间中的黑洞热力学252

第8章 引力场的能量与哈密顿表述258

8.1 Komar能量258

8.2 正则哈密顿表述与ADM能量260

8.2.1 引力作用量的ADM分解260

8.2.2 正则哈密顿量与ADM能量263

8.2.3 引力场的完整哈密顿结构266

8.3 AD能量267

8.4 引力场的准局域能量269

8.5 引力场的正则量子化及其困难271

第9章 宇宙学简介274

9.1 宇宙学原理274

9.2 膨胀的宇宙：测距方法与FRW模型275

9.2.1 宇观尺度的测量275

9.2.2 各向同性的膨胀宇宙——Robertson-Walker度规279

9.2.3 膨胀的运动学方程——FRW宇宙282

9.2.4 物态方程283

9.3 Hubble参数、红移与密度参数285

9.3.1 Hubble参数与红移285

9.3.2 密度参数与Friedmann方程287

9.4 早期宇宙289

9.5 标准宇宙学模型的困难295

9.5.1 均匀性困难295

9.5.2 平坦性疑难295

9.5.3 视界困难296

9.6 暴涨宇宙学模型297

9.6.1 暴涨发生的必要条件298

9.6.2 暴涨子与慢滚条件299

9.6.3 暴涨持续的时间与e-fold数304

9.7 微波背景辐射简介307

9.7.1 温度与频谱307

9.7.2 温度涨落的角关联与功率谱310

9.7.3 极化312

9.8 原初扰动314

9.8.1 度规扰动315

9.8.2 物质扰动316

9.8.3 规范问题317

9.8.4 规范固定与扰动方程318

9.8.5 标量扰动的量子涨落322

9.8.6 张量扰动324

9.8.7 张标比与谱指数325

第10章 扩展的引力理论327

10.1 Gauss-Bonnet 引力327

10.1.1 作用量和场方程327

10.1.2 黑洞解329

10.2 f（R）引力336

10.2.1 度规表述336

10.2.2 Palatini表述338

10.3 标量—张量理论及其与f（R）引力的等价性341

10.3.1 Brans-Dicke理论341

10.3.2 度规表述下f（R）引力与标量—张量理论的等价性343

10.3.3 Palatini表述下f（R）引力与标量—张量理论的等价性344

10.4 （2+1）维引力理论及其扩展345

10.4.1 拓扑有质量引力346

10.4.2 新的有质量引力348

10.4.3 高自旋引力349

第11章 额外维与时空紧化352

11.1 引言352

11.2 紧致的小额外维——Kaluza-Klein理论353

11.2.1 5维到4维的KK紧化353

11.2.2 （n+1）维到n维的KK紧化357

11.2.3 多个额外维同时紧化358

11.2.4 Kaluza-Klein宇宙学360

11.2.5 Kaluza-Klein紧化的动力学机制362

11.3 紧致的大额外维——ADD膜世界模型概要364

11.4 非紧的大额外维——RS2模型366

11.5 额外维在S1/Z2上的紧化——RS1模型370

11.6 无穷体积的额外维——DGP膜世界模型373

11.7 含额外维的引力理论小结375

参考文献377

附录A Levi-Civita符号与Levi-Civita张量378

A.1 Levi-Civita符号378

A.2 Levi-Civita张量379

附录B 高维AdS时空及其坐标选择380

B.1 作为超曲面的AdSn+1380

B.2 AdSn+1的其他坐标选择381

B.3 AdS时空的边界385

附录C 坐标变换中的一个微妙问题387

附录D 一些物理常数389

D.1 基本物理常量（国际单位制）389

D.2 一些常用的参考物理量389

索引390