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第一章 向量代数与空间解析几何1

第一节　向量的概念及向量的表示1

一、向量的基本概念1

二、空间直角坐标系及向量的坐标表示式5

第二节 向量的数量积、向量积及混合积12

一、向量的数量积12

二、向量的向量积16

三、向量的混合积18

第三节　平面及其方程21

一、平面及其方程21

二、两平面间的夹角24

三、点到平面的距离26

第四节　空间直线及其方程27

一、空间直线的方程27

二、直线与直线及直线与平面的夹角29

三、平面束方程及点到直线的距离31

第五节　空间曲面、空间曲线及其方程34

一、曲面及其方程34

二、空间曲线及其方程38

第六节　二次曲面的标准方程42

一、椭球面42

二、双曲抛物面44

三、椭圆抛物面45

四、单叶双曲面45

五、双叶双曲面46

第二章　多元函数微分学48

第一节　多元函数的概念48

一、区域48

二、多元函数52

三、多元函数的几何表示54

第二节　多元函数的极限与连续性54

一、多元函数的极限54

二、多元函数的连续性58

三、有界闭区域上连续函数的性质59

四、二元函数的累次极限60

第三节　偏导数63

一、多元函数的偏导数63

二、二元函数偏导数的几何意义67

三、偏导数与连续的关系68

第四节　全微分70

一、全微分70

二、全微分的运算法则75

三、微分中值定理76

第五节　多元复合函数的求导法则78

一、链导法则78

二、全微分形式的不变性82

第六节　隐函数的导数84

一、一个方程的情形84

二、方程组的情形87

第七节　高阶偏导数与高阶微分92

一、高阶偏导数92

二、高阶微分98

第八节　方向导数与梯度100

一、方向导数100

二、梯度103

第三章　多元函数积分学106

第一节　二重积分106

一、二重积分的概念106

二、二重积分的性质109

三、二重积分的计算110

第二节　三重积分123

一、三重积分的概念与性质123

二、三重积分的计算124

第三节　广义二重积分135

一、无界区域上的二重积分135

二、含瑕点的二重积分137

第四节　对弧长的曲线积分139

一、对弧长的曲线积分的概念139

二、对弧长的曲线积分的计算141

第五节　对面积的曲面积分144

一、对面积的曲面积分的概念144

二、对面积的曲面积分的计算145

第六节　黎曼积分149

一、黎曼积分的概念149

二、黎曼积分的性质151

第四章 多元函数微积分学的应用155

第一节　多元函数的泰勒公式155

第二节　空间曲线的切线与法平面方程159

第三节 曲线的弧长与平面曲线族的包络162

一、曲线的弧长162

二、平面曲线族的包络163

第四节　曲面的切平面与法线方程167

一、曲面的切平面与法线方程167

二、二元函数全微分的几何意义171

第五节　无约束极值与有约束极值172

一、无约束极值172

二、函数的最大值和最小值174

三、有约束极值177

第六节　平面图形及曲面的面积182

一、平面图形的面积183

二、曲面面积185

第七节　几何体的体积189

第八节　多元函数积分学在物理中的应用192

一、物体的质量192

二、重心和形心194

三、转动惯量198

四、引力201

第五章　对坐标的曲线积分和曲面积分205

第一节　对坐标的曲线积分205

一、对坐标的曲线积分的概念205

二、对坐标的曲线积分的计算209

三、两类曲线积分的联系214

第二节　格林公式217

一、格林公式217

二、平面上曲线积分与路径无关的条件221

三、原函数与全微分方程举例227

第三节　对坐标的曲面积分232

一、双侧曲面232

二、对坐标的曲面积分的概念234

三、对坐标的曲面积分的计算237

四、两类曲面积分之间的联系240

第四节 高斯公式与斯托克斯公式242

一、高斯公式242

二、斯托克斯公式245

第六章　常微分方程251

第一节　微分方程的基本概念251

第二节　一阶微分方程255

一、变量可分离方程255

二、齐次方程257

三、可化为齐次方程的方程259

四、一阶线性微分方程260

五、伯努利方程262

六、全微分方程263

第三节　可降阶的高阶微分方程268

一、y（n）＝f（x）型的微分方程268

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程269

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程272

第四节　线性微分方程解的结构274

第五节　高阶常系数线性微分方程277

一、常系数齐次线性微分方程277

二、常系数非齐次线性微分方程281

第六节　欧拉方程287

第七节　线性微分方程的幂级数解法289

第八节　常系数线性微分方程组294

第七章　向量函数与场论298

第一节　向量函数的极限与连续性298

一、向量函数的概念298

二、向量函数的极限与连续性299

第二节 向量函数的解析运算301

一、向量函数的导数和偏导数302

二、向量函数的微分306

三、向量函数的积分308

第三节　数量场及其物理量310

一、数量场310

二、数量场的方向导数和梯度312

第四节　向量场及其物理量317

一、向量场317

二、通量与散度318

三、环量与旋度321

第五节　几个常见的重要场324

一、有势场324

二、无源场326

三、调和场327

第八章　含参变量的积分329

第一节　含参变量积分的概念与运算329

第二节　含参变量的无穷积分334

一、含参变量的无穷积分的敛散性334

二、含参变量的无穷积分的其他性质337

第三节　Г函数和B函数341

一、Г函数341

二、В函数344

第四节　含参变量积分的应用举例347

习题参考答案352