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第一部分　最优控制理论的数学基础3

第1章　拓扑学基础3

1.1　集合论基本记号3

1.2　映射4

1.2.1　映射的基本概念4

1.2.2　象集映射与逆象映射5

1.2.3　映射的乘积5

1.3　点集的势6

1.4　拓扑空间7

1.4.1　拓扑空间7

1.4.2　连续映射9

1.4.3　度量空间10

第2章　测度论与泛函分析基础13

2.1　测度与积分13

2.1.1　测度与广义测度13

2.1.2 可测函数17

2.1.3 可测函数的积分及其性质18

2.1.4　Ladon-Nikodym导数21

2.1.5　复值测度与积分22

2.2　线性拓扑空间23

2.2.1　线性空间23

2.2.2　线性算子25

2.2.3　赋范空间26

2.2.4　内积空间27

2.2.5　线性拓扑空间28

2.3　线性算子与线性泛函基本理论30

2.3.1　线性拓扑空间上的算子与泛函30

2.3.2　线性泛函与线性算子基本定理31

2.3.3　共轭算子及其性质33

2.3.4　算子空间与收敛性35

2.3.5　线性算子的谱36

2.4　对偶空间、自反性与凸性38

2.4.1　弱拓扑与弱星拓扑38

2.4.2　典范映射与自反性40

2.4.3　赋范空间与对偶空间的凸性42

2.5　向量值函数42

2.5.1　可测性与Bochner积分42

2.5.2 空间Lp（Ω；X）44

2.5.3　连续性与可微性46

2.5.4　算子值解析函数48

2.6　线性算子半群理论49

2.6.1　Co半群49

2.6.2 半群的生成与逼近52

2.6.3 可微半群与解析半群52

2.6.4　发展算子与发展方程53

第3章　广义函数与Sobolev空间57

3.1　广义函数空间57

3.1.1　基本空间与广义函数空间57

3.1.2　广义函数的导数60

3.1.3　光滑函数与广义函数的乘法61

3.2　Sobolev空间61

3.2.1　空间Wm,p（Ω）61

3.2.2　空间W-m,p′（Ω）64

3.2.3　一般的Sobolev空间66

3.3　嵌入定理66

3.3.1　嵌入定理67

3.3.2　迹定理68

第4章　最优控制问题概述70

4.1　最优控制问题的一般提法70

4.1.1　控制问题的一般概念70

4.1.2　时滞系统73

4.1.3　最优控制问题的一般提法74

4.2　最大值原理75

4.2.1　半线性发展系统的最大值原理75

4.2.2　拟线性时滞抛物系统的最大值原理77

4.2.3　约束最大值原理83

4.3　Filippov引理与Ekeland变分原理86

4.3.1　Filippov引理86

4.3.2　Ekeland变分原理88

第二部分　最高阶偏导数具有时滞的变分不等式的最优控制91

第5章　引言91

5.1　引例91

5.2　相关问题的研究概况92

5.3　极大单调算子与变分不等式94

5.3.1　极大单调算子94

5.3.2　变分不等式97

5.3.3　问题概述98

第6章　时滞变分不等式的可解性100

6.1　状态方程与基本假设100

6.1.1　时滞算子100

6.1.2　时滞变分不等式103

6.1.3　基本假设105

6.2　逼近系统108

6.2.1　光滑逼近族与逼近系统108

6.2.2　逼近解族的一致有界性109

6.3　解的存在唯一性与解对初值的连续依赖性112

6.4　解对参数的连续依赖性120

第7章　时滞变分不等式的最优控制124

7.1　问题的提法124

7.1.1　模型与假设124

7.1.2　问题的提法126

7.1.3　指标泛函的基本特性126

7.2　最优控制的存在性128

7.3　对偶方程130

7.3.1　逼近控制问题131

7.3.2　逼近控制问题的轨线变分与对偶方程132

7.3.3　问题（C）的对偶方程134

7.4　最大值原理138

第三部分　一个约束最优控制问题的显式解145

第8章 在逐点状态约束下一个时间最优控制问题的显式解145

8.1　引言145

8.2　问题的状态空间提法147

8.3　问题（P）的转化148

8.4　问题（RT）的最优控制153

8.5　问题（P）的最优控制158

参考文献162