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第1章　极限与连续1

1.1 预备知识1

1.1.1　集合1

1.1.2　绝对值与常用不等式2

1.1.3　区间与邻域2

1.1.4　函数3

1.1.5　函数的简单性质4

1.1.6 函数的运算5

1.1.7　初等函数7

1.1.8　极坐标系8

1.1.9　参数方程10

习题一12

1.2 两个实例13

1.3　数列极限15

1.3.1　数列15

1.3.2　数列的极限15

1.3.3　数列极限的性质18

1.3.4　数列极限的四则运算19

1.3.5　数列收敛判别法与数e21

习题二25

1.4　函数极限27

1.4.1 函数在无穷远处的极限27

1.4.2　函数在一点的极限29

1.4.3　函数在一点的单侧极限30

1.4.4　函数极限的性质31

1.4.5　函数极限的运算32

1.4.6　两个重要极限34

习题三37

1.5　无穷小量与无穷大量38

1.5.1 无穷小量38

1.5.2　无穷大量40

1.5.3　无穷小量的比较41

1.5.4　曲线的渐近线43

习题四44

1.6 函数的连续性46

1.6.1 连续函数的概念46

1.6.2　连续函数的运算47

1.6.3　初等函数的连续性48

1.6.4 函数的间断点及其分类50

1.6.5　闭区间上连续函数的性质52

习题五53

第1章小结55

第2章　导数与微分57

2.1 导数的概念57

2.1.1　引入导数概念的实例57

2.1.2　导数的定义58

2.1.3　求导数举例60

2.1.4　导数的几何意义62

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系63

习题一64

2.2 函数的和、差、积、商的求导法则65

习题二68

2.3　反函数的导数、复合函数的求导法则69

2.3.1　反函数的导数69

2.3.2　复合函数的求导法则70

2.3.3　对数求导法73

2.3.4　基本导数公式表74

习题三75

2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数的导数76

2.4.1　隐函数的导数76

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数78

2.4.3　相关变化率80

习题四81

2.5　高阶导数82

2.5.1　显函数的高阶导数82

2.5.2 由参数方程所确定的函数的高阶导数85

2.5.3　隐函数的高阶导数87

习题五88

2.6　微分89

2.6.1　微分的概念89

2.6.2　微分的基本公式和运算法则91

2.6.3　微分的几何意义93

2.6.4　微分在近似计算中的应用94

习题六96

第2章小结97

第3章　微分中值定理与导数应用99

3.1　微分中值定理99

3.1.1　罗尔（Rolle）定理99

3.1.2　拉格朗日（Lagrange）定理101

3.1.3　柯西（Cauchy）定理102

3.1.4　推论与说明103

习题一104

3.2　未定式的极限105

3.2.1　0/0型未定式的极限106

3.2.2　∞/∞型未定式的极限108

3.2.3　其他类型未定式的极限109

3.2.4　几点说明112

习题二113

3.3　泰勒公式115

3.3.1　泰勒定理115

3.3.2　几点说明117

3.3.3 几个初等函数的麦克劳林公式118

3.3.4　泰勒公式应用举例120

习题三122

3.4 函数的单调性与极值122

3.4.1　函数的单调性122

3.4.2　函数的极值125

3.4.3　最值问题128

习题四130

3.5 函数作图132

3.5.1 曲线的凸向与拐点132

3.5.2　函数作图134

习题五137

3.6　曲线的曲率137

3.6.1　弧微分137

3.6.2　曲率及其计算公式138

3.6.3　曲率圆140

习题六141

3.7 导数在经济学中的应用142

3.7.1 经济学的厂商理论中常见的函数142

3.7.2　边际函数（函数变化率）143

3.7.3　函数的弹性146

习题七149

第3章小结149

第4章 一元函数积分学151

4.1 不定积分151

4.1.1 原函数与不定积分的概念151

习题一154

4.1.2　不定积分的换元法155

习题二162

4.1.3　不定积分的分部积分法163

习题三166

4.1.4　有理函数及可化为有理函数积分的积分167

习题四171

4.2 定积分的概念及微积分基本公式172

4.2.1　定积分的概念和性质172

习题五178

4.2.2　微积分的基本定理178

习题六182

4.3　定积分的计算183

4.3.1　定积分的换元法183

习题七187

4.3.2　定积分的分部积分法188

习题八190

4.4　定积分的应用191

4.4.1　微元法191

4.4.2 平面图形的面积192

4.4.3　物体的体积195

4.4.4 平面曲线的弧长198

4.4.5　定积分在物理中的应用举例200

4.4.6　函数的平均值202

习题九202

4.5　广义积分204

4.5.1 无穷区间上的广义积分204

4.5.2　具有瑕点的广义积分（无界函数的积分）207

习题十210

第4章小结210

第5章　微分方程212

5.1　微分方程的基本概念212

5.1.1　三个实例212

5.1.2　微分方程的基本概念214

习题一216

5.2　一阶微分方程216

5.2.1 可分离变量的微分方程217

5.2.2　齐次型微分方程218

5.2.3　一阶线性微分方程221

5.2.4　伯努利方程225

习题二226

5.3　可降阶的高阶微分方程228

5.3.1　y(n)=f（x）型的微分方程228

5.3.2　y″=f（x,y′）型的微分方程229

5.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程230

习题三232

5.4　二阶线性微分方程232

5.4.1　二阶线性微分方程解的性质233

5.4.2　二阶线性微分方程解的结构234

5.4.3　二阶线性常系数齐次微分方程236

5.4.4 二阶线性常系数非齐次微分方程239

5.4.5　欧拉（Euler）方程245

习题四246

5.5　差分方程初步248

5.5.1　差分方程概念248

5.5.2　一阶线性常系数差分方程250

5.5.3　二阶线性常系数差分方程254

5.5.4　差分方程的应用举例257

习题五259

第5章小结259

部分习题参考答案261

参考文献279