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1．预备知识1

1．1 引言1

1．2 记号2

1．3 线性代数的一些基础5

1．3．1 迭代过程分析6

1．3．2 范数7

1．3．3 对称矩阵9

1．4 泛函分析的一些基础10

1．4．1 连续函数和H?lder空间10

1．4．2 Sobolev空间11

1．4．3 对偶空间12

1．4．4 Hilbert链13

1．4．5 半双线性形式17

1．5 习题19

2．作为引子的模型问题22

2．1 一维模型问题22

2．2 经典迭代的光滑效应23

2．3 二重网格方法26

2．4 二重网格迭代的收敛性31

2．5 多重网格方法38

2．6．1 二重和多重网格迭代的变形41

2．6 评注41

2．6．2 光滑效应的度量42

2．6．3 历史述评43

2．7 习题45

3．一般的二重网格方法48

3．1 边值问题及其离散化48

3．1．1 边值问题48

3．1．2 有限差分离散化50

3．1．3 协调有限元离散化54

3．2 二重网格算法57

3．3．1 Gauss-Seidel迭代58

3．3 光滑迭代58

3．3．2 Jacobi迭代的修改61

3．3．3 块迭代62

3．4 延拓64

3．4．1 细和粗网格64

3．4．2 作为延拓的分片线性插值65

3．4．3 高阶插值68

3．4．4 修改69

3．5 限制70

3．6 有限元方程的典型延拓和限制73

3．7 粗网格矩阵75

3．8 评注77

3．8．1 有限元列的构造77

3．8．2 ？的情况80

3．9 习题81

4．一般多重网格迭代84

4．1 多重网格算法84

4．2 多重网格迭代收敛性87

4．3 计算量88

4．4．1 求解Poisson方程的多重网格程序92

4．4 多重网格迭代举例及数值结果92

4．4．2 一般区域上的Poisson方程97

4．4．3 其它边界条件99

4．4．4 其它Poisson解法100

5．套迭代技术102

5．1 算法102

5．2 套迭代分析104

5．3 计算量和效率108

5．4 数值例子110

5．5 评注113

5．6 习题114

6．二重网格迭代的收敛性117

6．1 收敛性的充分条件117

6．1．1 二重网格迭代矩阵117

6．1．2 M1的分解118

6．1．3 光滑性和逼近性118

6．1．4 一般收敛性定理120

6．1．5 V2？0情形121

6．2 光滑性122

6．2．1 预备引理123

6．2．2 判别准则127

6．2．3 Jacobi迭代的光滑性129

6．2．4 Gauss-Seidel迭代的光滑性134

6．3 逼近性141

6．3．1 有限元方程的逼近性141

6．4 对称情形159

6．4．1 定量分析159

6．4．2 没有正则性假设的估计164

6．5 评注167

6．6 习题169

7．1 一般收敛性定理173

7．多重网格迭代的收敛性173

7．2 对称情形178

7．3 评注182

7．4 习题183

8．Fourier分析185

9．非线性多重网格方法189

9．1 非线性问题189

9．2 Newton多重网格迭代190

9．3 非线性多重网格迭代192

9．3．1 非线性光滑迭代192

9．3．2 非线性二重网格迭代194

9．3．3 非线性多重网格算法196

9．3．4 非线性套迭代198

9．4 数值例子：闭腔中的自然对流198

9．5 收敛性分析203

9．5．1 非线性二重和多重网格方法的收敛性203

9．5．2 非线性套迭代的分析204

10．奇异摄动问题205

10．1 各向异性椭圆型方程205

10．1．1 模型问题205

10．1．3 用于光滑的不完全LU分解209

10．1．2 关于交替方向的光滑209

10．2 不定问题215

10．3 交界面问题216

10．3．1 一维模型问题216

10．3．2 二维交界面问题219

10．4 对流扩散方程222

10．4．1 连续问题222

10．4．2 稳定离散化223

10．4．3 多重网格算法226

10．5 评注235

10．6 习题237

11．椭圆型方程组240

11．1 例240

11．1．1 耦合椭圆型方程组240

11．1．2 例：Cauchy-riemann，Stokes和Navier-Stokes方程组242

11．1．3 一般方程组的椭圆性243

11．1．4 变分形式245

11．1．5 离散化247

11．2 一般方程组的多重网格方法247

11．2．1 适当的范数和内积247

11．2．2 一般方程组的光滑迭代252

11．2．3 非线性方程组254

11．3 由代数方程扩展而来的椭圆型问题255

11．3．1 线性情形255

11．3．2 非线性情形257

12．特征值问题和奇异方程组259

12．1 问题的讨论259

12．1．1 特征值问题259

12．1．2 奇异方程组260

12．2．1 特征值问题提作非线性方程组262

12．2 问题重新描述262

12．2．2 奇异方程的重新描述265

12．3 特征值问题的直接多重网格方法265

12．3．1 二重网格迭代的推导265

12．3．2 特征值问题的多重网格迭代和套迭代268

12．3．3 奇异方程的直接多重网格解271

13．延拓技术273

13．1 连续延拓问题273

13．2 修改套迭代274

13．2．1 转向点的处理274

13．2．2 修改套迭代276

13．2．3 修改279

13．2．4 冻结截断误差技术280

14．外推与亏量校正技术281

14．1 外推281

14．1．1 Richardson外推281

14．1．2 截断误差外推282

14．1．3 τ外推283

14．2 亏量校正技术287

14．2．1 迭代亏量校正287

14．2．2 作为有限过程的亏量校正289

14．3 多重网格法与亏量校正原理的结合290

14．3．1 作为辅助迭代的多重网格算法290

14．3．2 带有附加光滑的亏量校正291

14．3．3 多重网格内部的亏量校正293

15．第二类多重网格方法295

15．1 第二类方程295

15．2 算法296

15．3 收敛性297

15．4 数值例子298

参考文献300