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第一章 绪论1

第一节 算法1

一、算法的表述形式1

二、算法的基本特点2

三、算法描述语言4

第二节 误差7

一、误差的来源7

二、误差的基本概念7

三、有效数字8

一、数值运算时误差的传播9

第三节 设计算法时应注意的原则9

二、算法中应避免的问题10

习题一12

第二章 线性方程组的直接解法13

第一节 引言13

第二节 高斯（Gauss）消元法13

一、高斯消元法的基本思想14

二、高斯消元法法公式14

三、高斯消元法的条件15

四、高斯消元法的计算量估计15

第四节 选主元的高斯消元法16

二、全主元消元法17

一、列主元消元法17

第五节 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法18

一、高斯-若当消元法18

二、求方阵的逆19

第六节 矩阵的LU分解20

一、矩阵的LU分解20

二、直接LU分解22

三、方阵行列式求法24

四、克劳特（Crout）分解24

一、矩阵的LDU分解25

二、对称正定矩阵的乔累斯基（Cholesky）分解25

第七节 平方根法25

三、平方根法和改进的平方根法26

第七节 追赶法27

第八节 向量和矩阵的范数30

一、向量范数30

二、矩阵范数30

三、谱半径32

四、条件数及病态方程组33

习题二36

第三章 线性方程组的迭人解法39

第一节 迭代法的一般形式39

第二节 几种常用的迭代法公式39

一、简单迭代法39

二、塞德尔（Seidel）迭代法41

三、逐次超松驰法（SOR方法）42

第三节 迭代法的收敛条件44

一、迭代法的一般形式的收敛条件44

二、从矩阵A判断收敛的条件47

第四节 共轭斜向法50

一、与线性方程组等价的极值问题50

二、沿已知方向求函数φ（x）的极小值问题50

三、最速下降法51

四、A共轭向量系52

五、共轭斜向法52

习题三54

第四章 方阵特片值和特征向量计算56

第一节 幂法和反幂法56

一、幂法56

二、幂法的其他复杂情况59

三、反幂法59

四、原点平移加速技术60

五、求已知特征值的特征向量61

第二节 雅可比方法62

一、平面旋转矩阵63

二、古典雅可比方法65

三、过关雅可比方法66

一、豪斯豪德尔（Householder）变换67

第三节 QR方法67

二、化一般矩阵为拟上三角矩阵68

三、矩阵的正交三角分解70

四、QR方法71

习题四71

第五章 非线性方程和方程组的数值解法73

第一节 对分法73

一、逐步扫描法73

二、对分法74

一、迭代法的基本思想77

二、迭代法的几何解释77

第二节 迭代法77

三、迭代法收敛条件78

四、迭代法的收敛速度81

第三节 迭代法的加速82

一、松驰法82

二、埃特金（Altken）方法82

第四节 牛顿(Newton)法84

一、牛顿法的基本思想84

二、牛顿法的几何意义85

三、牛顿迭代法的收敛性85

四、牛顿法的收敛速度86

第五节 割线法86

第六节 抛物线法88

一、求解非线性方程组的牛顿法90

第七节 非线性方程组的解法90

二、拟牛顿法92

习题五94

第六章 插值法与数值微分95

第一节 拉格朗日（Lagrange）插值96

一、线性插值96

二、二次插值97

三、n次插值98

第二节 插值多项式的唯一性及误差估计99

一、插值多项式的唯一性99

二、插值公式的余项100

一、差商101

第三节 牛顿插值101

二、牛顿插值公式102

第四节 埃特金插值法104

第五节 埃尔米特（Hermite）插值107

一、埃尔米特插值多项式107

二、误差估计108

第六节 分段插值110

一、分段线性插值111

二、分段埃尔米特插值112

第七节 样条插值113

一、样条插值的基本概念113

二、样条插值公式114

三、样条插值的收敛性116

第八节 数值微分117

习题六119

第七章 数据似合和函数逼近122

第一节 拟合与逼近的概念122

一、数据拟合122

二、函数逼近122

第二节 超定方程组的最小二乘解123

第三节 多项式拟合124

第四节 多项式拟合中克服正规方程组的病态128

一、线性赋范空间129

第五节 最佳一致逼近多项式129

二、最佳一致逼近多项式130

三、最佳一致逼近多项式的特征130

第六节 最佳平方逼近多项式131

一、内积和内积空间132

二、最佳平方逼近多项式132

第七节 正交多项式系134

一、正交函数系134

二、正交多项式系135

三、正交多项式在逼近和拟合中的应用137

第八节 近似最佳一致逼近多项式139

一、切比雪夫多项式的性质139

二、切比雪夫节 点插值140

三、缩减幂级数法141

习题七142

第八章 数值积分144

第一节 求积公式144

一、求积公式144

二、求积公式的余项和代数精度144

三、矩形求积公式145

四、内插求积公式146

第二节 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式146

一、梯形公式146

二、抛物形公式147

三、牛顿-柯特斯公式149

第三节 复化求积公式150

一、复化梯形公式151

二、复化抛物形公式154

第四节 龙贝格（Romberg）求积公式155

第五节 高斯型求积公式159

一、高代数精度的求积公式159

二、几个常用的高斯型求积公式162

习题八165

第九章 常微分方程初值问题的数值解法167

第一节 引言167

一、基本知识复习167

二、一阶常微分方程组和高阶常微分方程167

一、欧拉方法的导出168

第二节 欧拉（Euler）方法168

二、欧拉隐式公式和欧拉中点公式169

三、局部截断误差和方法的阶170

四、梯形公式及其预估——校正法170

第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）法173

一、二阶R-K法173

二、四阶R-K法175

三、步长的自动选择176

第四节 线性多步法177

一、用待定系数法构造线性多步法177

二、用数值积分法构造线性多步法公式180

一、阿达姆斯公式的PEC模式182

第五节 预估—校正法182

二、阿达姆斯公式的PMECME模式183

三、哈明（Hamming）法PMECME模式183

第六节 一阶常微分方程组和高阶方程184

一、一阶常微分方程组184

二、高阶常微分方程185

第七节 相容性、收敛性和稳定性186

一、相容性186

二、收敛性187

三、稳定性187

习题九189

参考书目191