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第1篇 数理逻辑3

第1章 命题逻辑3

1.1 命题及其表示3

1.1.1 命题的基本概念3

1.1.2 命题分类4

1.1.3 命题标识符4

1.2 逻辑联结词5

1.2.1 否定联结词5

1.2.2 合取联结词5

1.2.3 析取联结词6

1.2.4 条件联结词7

1.2.5 双条件联结词8

1.3 命题公式与翻译8

1.3.1 命题公式8

1.3.2 命题的翻译9

1.4 真值表与命题公式分类10

1.4.1 真值表10

1.4.2 命题公式分类12

1.5 命题逻辑的等价式与蕴含式13

1.5.1 命题逻辑的等价式13

1.5.2 命题逻辑的蕴含式17

1.6 其他逻辑联结词与联结词组20

1.6.1 其他逻辑联结词20

1.6.2 最小功能完备联结词组23

1.7 对偶式与范式24

1.7.1 对偶式与对偶原理24

1.7.2 命题公式的范式25

1.7.3 命题公式的主析取范式和主合取范式27

1.8 命题逻辑的推理理论35

1.8.1 推理规则36

1.8.2 推理定律36

1.8.3 推理方法37

本章小结41

习题41

第2章 谓词逻辑48

2.1 个体、谓词和量词48

2.1.1 个体和谓词48

2.1.2 量词51

2.2 谓词公式与翻译52

2.2.1 谓词公式52

2.2.2 谓词的翻译53

2.3 约束变元与自由变元54

2.4 谓词公式的解释与分类56

2.4.1 谓词公式的解释56

2.4.2 谓词公式的分类58

2.5 谓词逻辑的等价式与蕴含式59

2.5.1 谓词逻辑的等价式59

2.5.2 谓词逻辑的蕴含式63

2.6 谓词公式范式64

2.6.1 前束范式64

2.6.2 斯柯林范式66

2.7 谓词逻辑的推理理论66

2.7.1 推理规则66

2.7.2 推理定律68

2.7.3 推理方法68

2.8 谓词逻辑在知识表示中的应用72

2.8.1 知识与知识表示72

2.8.2 基于谓词逻辑的知识表示73

本章小结75

习题75

第2篇 集合论83

第3章 集合与关系83

3.1 集合的概念和表示法83

3.1.1 集合与元素83

3.1.2 集合间的关系84

3.1.3 幂集86

3.1.4 集合的数码表示87

3.2 集合的运算88

3.2.1 集合的几种基本运算88

3.2.2 集合运算的文氏图表示88

3.2.3 集合的运算定律89

3.3 有限集合中元素的计数90

3.3.1 文氏图法90

3.3.2 容斥原理法91

3.4 序偶与笛卡尔积93

3.4.1 序偶93

3.4.2 笛卡尔积94

3.5 关系及其表示96

3.5.1 关系的定义97

3.5.2 关系的表示98

3.6 复合关系和逆关系100

3.6.1 复合关系100

3.6.2 逆关系103

3.7 关系的性质与表示方法104

3.7.1 关系的性质104

3.7.2 关系的表示方法105

3.8 关系的闭包运算108

3.9 集合的划分与等价关系112

3.9.1 集合的划分和覆盖112

3.9.2 等价关系与等价类114

3.9.3 相容关系117

3.10 偏序关系119

3.10.1 偏序关系的定义119

3.10.2 偏序关系的哈斯图120

3.10.3 偏序集中特殊的元素122

3.10.4 两种特殊的偏序集124

本章小结124

习题125

第4章 函数133

4.1 函数的基本概念133

4.2 特殊性质的函数及特征函数135

4.2.1 特殊性质的函数135

4.2.2 特征函数136

4.3 逆函数与复合函数137

4.3.1 逆函数137

4.3.2 复合函数138

4.4 集合的势与可数集140

4.4.1 集合的势140

4.4.2 可数集141

本章小结143

习题143

第3篇 代数系统151

第5章 代数系统151

5.1 运算与代数系统的概念151

5.1.1 运算的概念151

5.1.2 代数系统的概念152

5.2 二元运算153

5.2.1 二元运算的性质153

5.2.2 集合上关于二元运算的特异元素154

5.2.3 利用运算表判断代数运算的性质156

5.3 半群与含幺半群157

5.3.1 半群及其性质157

5.3.2 含幺半群及其性质158

5.4 群与子群159

5.4.1 群的基本概念159

5.4.2 群的基本性质160

5.4.3 群的元素的阶162

5.4.4 子群及其判定定理162

5.5 同态与同构163

5.6 特殊群166

5.6.1 阿贝尔群166

5.6.2 循环群166

5.6.3 置换群168

5.7 Lagrange定理与正规子群170

5.7.1 陪集与Lagrange定理170

5.7.2 正规子群、商群172

5.8 环与域174

5.8.1 环174

5.8.2 域176

5.9 群在编码理论中的应用177

本章小结182

习题182

第6章 格与布尔代数187

6.1 格的概念及性质187

6.1.1 格的概念187

6.1.2 格的性质189

6.2 分配格与模格195

6.2.1 分配格195

6.2.2 模格197

6.3 有界格与有补格199

6.3.1 有界格199

6.3.2 有补格200

6.4 布尔代数201

6.4.1 布尔代数的概念201

6.4.2 布尔代数的性质202

6.4.3 子布尔代数205

6.4.4 布尔代数的同态与同构206

6.4.5 有限布尔代数的原子表示206

6.5 布尔表达式与布尔函数209

6.5.1 布尔表达式209

6.5.2 布尔函数213

6.6 布尔函数在电路设计中的应用214

本章小结215

习题216

第4篇 图论219

第7章 图论219

7.1 图的基本概念219

7.1.1 图的定义219

7.1.2 子图与补图220

7.1.3 结点的度222

7.1.4 图的同构224

7.2 路、回路与连通性226

7.2.1 路与回路226

7.2.2 图的连通性226

7.3 图的矩阵表示230

7.3.1 邻接矩阵230

7.3.2 可达矩阵232

7.3.3 关联矩阵234

7.4 欧拉图与哈密尔顿图236

7.4.1 欧拉图236

7.4.2 哈密尔顿图238

7.5 二部图及匹配240

7.5.1 二部图240

7.5.2 匹配242

7.6 平面图244

7.6.1 平面图定义244

7.6.2 欧拉公式245

7.6.3 平面图的对偶与着色247

7.7 树与生成树249

7.7.1 无向树的定义与性质250

7.7.2 无向图中的生成树与最小生成树251

7.8 根树及其应用253

7.8.1 有向树253

7.8.2 m叉树254

7.8.3 最优二叉树256

7.8.4 二叉树在计算机中的应用256

7.9 最短路径问题258

7.9.1 问题的提出258

7.9.2 Dijkstra算法258

本章小结259

习题260

参考文献270