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第一篇 有限元法基础3

第1章 有限元法构造……黄艾香3

1.1　Galerkin变分原理和Ritz变分原理3

1.2　Galerkin逼近解7

1.3　有限元子空间9

1.4　单元刚度矩阵和总刚度矩阵16

第2章 单元及形状函数……黄艾香21

2.1　矩形元素的形状函数21

2.1.1　矩形元素的Lagrange型形状函数22

2.1.2　矩形元素的Hermite型形状函数25

2.2　三角形元素28

2.2.1　面积坐标和体积坐标的概念28

2.2.2　三角形元素的Lagrange型形状函数31

2.2.3　三角形元素的Hermite型形状函数35

2.3　三维元素的形状函数43

2.3.1　六面体元素的Lagrange型形状函数43

2.3.2　四面体元素的Lagrange型形状函数44

2.3.3　三棱柱体元素的形状函数46

2.3.4　四面体元素的Hermite型形状函数47

2.4　等参数元素48

2.5　曲边元素51

第3章 有限元法解题过程……黄艾香55

3.1　有限元法的计算流程55

3.2　对称带状矩阵的一维存贮62

3.3　数值积分65

3.4　单元刚度矩阵的计算和总刚度矩阵的合成68

3.4.1　形状函数的计算68

3.4.2　单元刚度矩阵及单元列阵的计算72

3.4.3　总刚度矩阵元素的迭加73

3.5　有限元方程组的解法75

3.5.1　对称、正定矩阵的分解76

3.5.2　线性代数方程组的直接解法78

3.6　约束条件的处理81

3.6.1　强加约束条件的处理81

3.6.2　周期性约束条件的处理83

3.7　场函数数值导数的计算90

第4章 Sobolev空间……李开泰93

4.1　关于区域和某些记号93

4.2　若干经典函数空间94

4.3　Lp（Ω）空间96

4.4　广义函数空间98

4.5　整数阶Sobolev空间100

4.6　实数阶Sobolev空间Hσ，p（Ω）102

4.7　嵌入定理和插入不等式104

4.8　迹空间105

第5章 边值问题变分原理及有限元逼近解误差估计……李开泰5.1　椭圆边值问题114

5.2　变分原理117

5.3　有限元逼近解129

5.4　坐标变换和等价有限元130

5.4.1　仿射变换和仿射等价有限元130

5.4.2　等参变换和等参有限元132

5.5　有限元插值基本理论135

5.5.1　若干引理135

5.5.2　仿射等价有限元插值精度136

5.5.3　等参有限元插值精度138

5.5.4　C1类有限元插值139

5.6　椭圆边值问题有限元逼近解精度139

5.6.1　协调有限元139

5.6.2　收敛性定理140

5.6.3　Aubin-Nitsche引理和零阶模的估计142

5.6.4　负范数估计143

5.7　最大模估计143

5.7.1　反假设144

5.7.2　权半范144

5.7.3　投影算子146

5.7.4　最大模估计147

参考文献148

第二篇 非标准有限元法161

第1章 混合元与杂交元……周天孝 陈掌星1.1　鞍点问题161

1.2　混合元方法164

1.3　二阶问题166

1.4　混合元167

1.4.1　三角混合元167

1.4.2　矩形混合元168

1.4.3　四面体混合元169

1.4.4　六面体混合元170

1.4.5　三棱柱混合元172

1.4.6　混合元的逼近性质173

1.5　作为有限元格式优化的杂交元方法174

1.6　基于Hellinger-Reissner变分原理的杂交元175

1.6.1　杂交变分原理175

1.6.2　丰富应变位移和能量协调条件177

1.6.3　秩条件和Pian-Sumihara杂交元的收敛性分析178

1.7　组合杂交有限元法183

1.7.1　组合杂交变分原理183

1.7.2　高性能的组合杂交元CH（0-1）186

1.7.3　组合杂交方法的能量零误差机制及对带drilling自由度的Allman三角形元的改进189

参考文献195

第2章 非协调元……陈掌星 王鸣198

2.1　非协调元198

2.2　Strang第二引理和Aubin-Nitsche技巧199

2.3　二阶问题的非协调元200

2.4　四阶问题的非协调元203

2.5　非协调元的基本假设209

2.6　非协调元的误差估计211

2.7　收敛检验条件212

参考文献216

第3章 间断有限元……陈掌星217

3.1　一阶问题217

3.2　二阶问题220

3.2.1　对称间断有限元221

3.2.2　惩罚对称间断有限元222

3.2.3　非对称间断有限元223

3.2.4　惩罚非对称间断有限元224

参考文献225

第4章 边界元及与有限元耦合法……余德浩 何银年4.1　引言226

4.2　经典边界归化227

4.2.1　调和边值问题、Green公式和基本解227

4.2.2　间接边界归化229

4.2.3　直接边界归化233

4.3　自然边界归化234

4.3.1　自然边界归化原理235

4.3.2　典型域上的自然边界归化236

4.3.3　自然积分算子的性质239

4.4　边界积分方程的数值解法239

4.4.1　配置法240

4.4.2　Galerkin法240

4.4.3　一类超奇异积分方程的数值解法241

4.5　有限元边界元耦合法242

4.5.1　有限元法与边界元法比较242

4.5.2　自然边界元与有限元耦合法原理244

4.6　无穷远边界条件的近似245

4.6.1　人工边界上的近似边界条件246

4.6.2　近似积分边界条件与误差估计247

4.7　区域分解算法248

4.7.1　有界区域的区域分解算法248

4.7.2　基于边界归化的区域分解算法250

4.8　Navier-Stokes方程的有限元边界元耦合法252

4.8.1　定常不可压Navier-Stokes方程的近似253

4.8.2　近似Navier-Stokes问题（N-S）′的耦合变分形式254

4.8.3　变分形式的适定性和正则性256

4.8.4　有限元边界元耦合方法及其误差估计257

参考文献259

第5章 无限元……应隆安260

5.1　典型问题260

5.2　奇点问题262

5.3　奇性计算与应力强度因子272

5.4　外问题273

5.5　奇性分解定理274

5.6　极限情形276

5.7　误差估计282

5.8　算例285

第6章 椭圆边值问题奇异性的结合法……李子才6.1　简介295

6.2　Laplace方程在多边形上的奇异性296

6.2.1　Neumann-Dirichlet边界条件296

6.2.2　奇异性分析299

6.2.3　其他边界条件下的特解300

6.2.4　Motz问题302

6.2.5　奇异性减慢收敛率303

6.2.6　接近无穷时的特解形式303

6.3　保角转换法（CTM）304

6.3.1　基本思想304

6.3.2　求展开解的演算法309

6.4　局部加密法310

6.5　奇异元素法311

6.6　奇异函数法311

6.7　h型及p型的结合法313

6.8　结合法314

6.8.1　一般性的描述314

6.8.2　将非协调结合法视为Lagrange乘子法315

6.8.3　不引入额外变数的结合技巧317

6.8.4 结合法分析320

参考文献322

第7章 h-p有限元方法……郭本琦326

7.1　引论326

7.2　带权的Sobolev和可数赋范空间327

7.3　椭圆型方程在不光滑区域上的正则性330

7.4　几何网格上的有限元空间339

7.5　h-p有限元的指数型收敛性341

7.6　h-p有限元在计算力学上的应用351

参考文献358

第8章 特征值问题的有限元逼近……杨一都8.1　引言360

8.2　Hilbert空间中自共轭全连续算子谱逼近360

8.3　特征值问题的协调有限元逼近362

8.3.1　基本结果362

8.3.2　二阶椭圆微分算子特征值问题协调有限元法365

8.3.3　四阶问题371

8.3.4　凹角域问题等372

8.4　特征值问题的非协调有限元逼近372

8.4.1　基本结果372

8.4.2　二阶问题Wilson非协调有限元法374

8.4.3　平板振动问题非协调有限元法375

8.4.4　非协调元与特征值下界376

8.4.5　非协调有限元2网格法377

8.5　特征值问题的混合有限元逼近378

8.5.1　基本结果378

8.5.2　薄膜振动混合有限元法380

8.5.3　重调和算子特征值问题混合有限元法381

参考文献384