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第四篇 多元函数微分学3

第8章 多元函数微分学3

8.1多元函数的基本概念3

区域3

多元函数的概念4

多元函数的重极限6

多元函数的连续性8

习题8.19

8.2偏导数10

偏导数的定义及其计算方法10

二元函数偏导数的几何意义13

高阶偏导数14

习题8.216

8.3全微分16

全微分的定义16

全微分在近似计算中的应用20

习题8.322

8.4多元复合函数的求导法则23

多元复合函数的求导法则23

多元复合函数的全微分27

习题8.428

8.5隐函数存在定理及其求导公式29

由一个方程确定的隐函数的情形29

由方程组确定的隐函数组的情形32

习题8.534

8.6方向导数与梯度35

方向导数35

梯度38

数量场与向量场40

习题8.642

8.7多元函数微分法在几何上的应用42

空间曲线的切线与法平面43

空间曲面的切平面与法线46

习题8.748

8.8多元函数的极值49

极值49

条件极值52

习题8.856

8.9二元函数的泰勒公式56

二元函数的泰勒公式57

极值充分条件的证明59

习题8.960

总习题八60

本章数学实验62

第五篇 多元函数积分学71

第9章 重积分71

9.1二重积分的基本概念71

二重积分的概念71

二重积分的性质74

习题9.175

9.2二重积分的计算76

直角坐标系下二重积分的计算76

极坐标系下二重积分的计算80

二重积分的换元法84

习题9.287

9.3三重积分89

直角坐标系下三重积分的计算90

柱面坐标系与球面坐标系下三重积分的计算93

三重积分的换元法97

习题9.398

9.4重积分的应用99

几何应用99

物理应用102

习题9.4105

9.5含参变量的积分106

习题9.5110

总习题九110

本章数学实验111

第10章 曲线积分与曲面积分115

10.1第一类曲线积分115

第一类曲线积分的定义与性质115

第一类曲线积分的计算117

习题10.1120

10.2第二类曲线积分120

第二类曲线积分的定义与性质120

第二类曲线积分的计算123

习题10.2126

10.3格林公式及其应用127

格林公式127

平面曲线积分与路径无关的条件131

习题10.3135

10.4第一类曲面积分136

第一类曲面积分的定义与性质136

第一类曲面积分的计算137

习题10.4140

10.5第二类曲面积分141

第二类曲面积分的定义与性质141

第二类曲面积分的计算143

习题10.5148

10.6高斯公式 通量与散度148

高斯公式148

通量与散度152

沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件154

习题10.6154

10.7斯托克斯公式 环流量与旋度155

斯托克斯公式155

环流量与旋度159

空间曲线积分与路径无关的条件160

习题10.7161

总习题十162

本章数学实验163

第六篇 无穷级数169

第11章 数项级数169

11.1级数的基本概念169

数项级数的概念169

数项级数的基本性质172

习题11.1175

11.2正项级数176

正项级数的概念176

正项级数敛散性的判别法177

习题11.2186

11.3交错级数186

交错级数187

绝对收敛与条件收敛188

绝对收敛级数的性质191

习题11.3192

总习题十一192

本章数学实验193

第12章 函数项级数196

12.1幂级数196

函数项级数的一般概念196

幂级数及其收敛性197

幂级数的运算201

幂级数求和204

习题12.1206

12.2函数的幂级数展开207

泰勒级数207

函数的幂级数展开209

习题12.2215

12.3幂级数的应用215

近似计算215

微分方程的幂级数解法217

欧拉公式218

习题12.3219

12.4傅里叶级数219

三角函数系的正交性219

函数的傅里叶级数221

习题12.4226

12.5正弦级数与余弦级数226

习题12.5228

12.6有限区间上函数的傅里叶级数228

以2l为周期的函数的傅里叶级数228

有限区间上的傅里叶级数231

习题12.6232

总习题十二233

本章数学实验234

第七篇 常微分方程初步243

第13章 一阶常微分方程243

13.1微分方程的基本概念243

微分方程的定义243

微分方程的通解与特解245

初值问题246

习题13.1248

13.2可分离变量的微分方程248

习题13.2251

13.3齐次方程252

习题13.3256

13.4一阶线性微分方程257

一阶线性非齐次方程的通解257

伯努利方程260

习题13.4261

13.5全微分方程262

习题13.5265

总习题十三266

本章数学实验267

第14章 二阶微分方程270

14.1可降阶的二阶微分方程270

y″=f（x）型270

y″=f（x,y′）型271

y″=f（y,y′）型272

习题14.1273

14.2二阶线性微分方程274

二阶线性微分方程的概念274

二阶线性齐次微分方程的解的结构274

二阶线性非齐次微分方程的解的结构276

常数变易法278

习题14.2280

14.3二阶常系数线性齐次微分方程281

习题14.3284

14.4二阶常系数线性非齐次微分方程284

f（x）=eλxPn（x）型285

f（x）=eλx［Pn（x）cosωx+Pl（x）sinωx］型286

习题14.4289

14.5欧拉方程290

习题14.5292

14.6常系数线性微分方程组293

习题14.6295

总习题十四295

本章数学实验297

参考文献302

部分习题答案与提示303